Questões de Construcões Geométricas - Perguntas e Respostas Comentadas - Exercícios
questões de vestibulares
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Questões Construcões Geométricas

REF. Perguntas / Respostas
vestibular Fuvest-1996
tópico:Construcões Geométricas

sub-grupo:
pergunta:Na figura a seguir são dadas duas semi-retas r e s de mesma origem A e um ponto P.
a) Utilize essa figura para construir, usando régua e compasso, os pontos B em r e C em s de tal forma que o ponto P pertença ao segmento BC e que AB seja igual a AC.
b) Descreva e justifique o processo utilizado na construção.


resposta:a) (imagem abaixo)
b) 1) Traçamos a bissetriz t do ângulo Â.
2) Conduzimos, por P, a reta u perpendicular a t.
3) Os pontos de intersecção da reta u com as retas r e s são os pontos B e C.
Justificativa: Se a bissetriz e a altura são coincidentes em um triângulo, ele é isósceles. Como AM é altura e bissetriz relativa ao lado BC, o triângulo ABC é isósceles e sua base é o lado BC. Portanto, AB=AC e como P pertence a BC, os pontos B e C são os pontos pedidos.

vestibular Fuvest-1997
tópico:Construcões Geométricas

sub-grupo:
pergunta:a) Dados AB e um segmento de medida r, construa, usando régua e compasso, um triângulo isósceles sabendo que sua base é AB e o raio da circunferência inscrita nesse triângulo é r.
b) Descreva as construções feitas.
c) Justifique o porquê de cada construção.


resposta:a) Observe a figura a seguir: (imagem abaixo)
b) Descrição:
1(0).) Traçamos a mediatriz de AB.
2(0).) Com centro no ponto médio (M) de AB, traçamos um arco de circunferência de raio r (dado) intersectando a mediatriz de AB no ponto O.
3(0).) Traçamos a circunferência C, de centro O e raio r.
4(0).) Com centro em A e raio AM, traçamos um arco que intersecta a circunferência C em um ponto P distinto de M.
5(0).) Traçamos a semi-reta AP. Esta semi-reta intersecta a mediatriz OM no ponto D.
6(0).) Traçamos o segmento de reta DB.
O triângulo isósceles ADB é o triângulo procurado.

c) Justificativas:
1(0).) Chamemos de D o vértice incógnito do triângulo procurado. Como o triângulo ADB é isósceles, D pertence à mediatriz de AB.
2(0).) Como o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo, e o triângulo ADB é isósceles (a bissetriz, a mediatriz, a mediana e a altura relativas à base AB são coincidentes), o centro O da circunferência inscrita no triângulo ADB pertence à mediatriz DM.
3(0).) A circunferência C, de centro O e raio r, inscrita no triângulo ADB, tangencia o lado AB no ponto M.
4(0).) Dois segmentos tangentes a uma circunferência traçados a partir de um mesmo ponto (A) são congruentes, logo AM = AP.
5(0).) A semi-reta suporte do segmento AP também é tangente à circunferência C. Portanto, esta semi-reta suporta um dos lados congruentes do triângulo procurado (AD).
6(0).) Como BD é tangente à circunferência C, e, utilizando o preceito contido em (4), podemos afirmar que AD = DB.
Por conseguinte, o triângulo ADB, circunscrito à circunferência C de raio r, é isósceles.

vestibular Fuvest-1998
tópico:Construcões Geométricas

sub-grupo:
pergunta:a) Dadas as retas paralelas r e s a um ponto A em r, construa um triângulo equilátero com um vértice em A, outro vértice em r e o terceiro vértice em s. (imagem abaixo)
b) Descreva e justifique as construções feitas.


resposta:
a) Observe a construção mostrada na figura a seguir: (imagem abaixo)

b) Descrição:

1) Obter o ponto R no encontro da reta r com um arco de circunferência de centro no ponto A e raio arbitrário.

2) Obter o ponto P no encontro desse arco já traçado com o arco de circunferência de centro no ponto R e mesmo raio anterior.

3) Obter o ponto B no encontro da reta AP com a reta s.

4) Obter o ponto C no encontro da reta r com o arco de circunferência de centro no ponto A e raio de medida AB.

5) O triângulo ABC é um triângulo equilátero.

Justificação
1. O ângulo BAC = 60°, por construção.
2. AB = AC, por construção.
3. ângulo ABC = ângulo ACB = xportanto, x = 60°.
Daí o triângulo ABC é equilátero.

vestibular Fuvest-1999
tópico:Construcões Geométricas

sub-grupo:
pergunta:a) Construa, com régua e compasso, um trapézio ABCD, onde AB seja paralelo a Cî, conhecendo-se os pontos A, M, N e I, que satisfazem as seguintes condições: M é o ponto médio do lado Aî, N é o ponto médio de BC e I é o ponto de intersecção do segmento MN com a reta que passa por B e é paralela a Aî.
b) Descreva e justifique a construção feita.


resposta:a) Observe a figura a seguir (imagem abaixo)

b) Usando régua e compasso vamos evitar o traçado de paralelas.
Obteremos os vértices B, C e D do trapézio.
1. O vértice D é a intersecção da reta AM com a circunferência de centro no ponto M e raio MA (M é ponto médio do segmento AD).
2. O vértice B é a intersecção da circunferência de centro no ponto I e raio MA com a circunferência de centro no ponto A e raio MI (o quadrilátero ABIM e paralelogramo).
3. O vértice C é a intersecção da reta BN com a circunferência de centro no ponto N e raio NB (N é ponto médio do segmento BC).
4. Basta, agora, desenhar o trapézio ABCD.

vestibular Fuvest-2000
tópico:Construcões Geométricas

sub-grupo:
pergunta:São dados os pontos A e B. Usando régua e compasso, construa a circunferência circunscrita a um polígono regular de 12 lados, que tem o segmento AB como um de seus lados. Descreva e justifique as construções utilizadas.


resposta:Observe a construção: (imagem abaixo)
Descrição e justificação
O polígono regular de doze lados tem ângulo central medindo 360°/12, ou seja, 30°.
Sendo C o centro da circunferência circunscrita ao polígono, temos que o triângulo ABC é isósceles, com ð=30° e Â=(ângulo B)=75°.
O ponto C pode ser obtido no encontro das semi-retas AC e BC, construindo-se CÂB=75° e C(ângulo B)A=75°.
Logo, a circunferência pedida é traçada com centro no ponto C e raio de medida AC=BC.
O problema admite duas respostas simétricas em relação ao lado AB.
Vale observar que 75°=60°+15°.
Então, obtém-se 60° (triângulo eqüilátero), 30° (bissetriz de 60°) e 15° (bissetriz de 30°).

vestibular Fuvest-2001
tópico:Construcões Geométricas

sub-grupo:
pergunta:São dados os pontos A e B e um segmento contendo os pontos G, H e I. Sabe-se que A e B pertencem, respectivamente, às diagonais CE e DF de um quadrado CDEF, cujo centro é O. A distância de A a O é igual a GH e a medida do lado do quadrado é igual a GI. Construa, usando régua e compasso, um quadrado CDEF, satisfazendo as condições acima. Descreva e justifique as construções utilizadas.


resposta:Observe a figura a seguir: (imagem abaixo)
As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si e interceptam-se nos respectivos pontos médios. Assim:

1. O centro O vê o segmento AB sob 90°, logo está na circunferência de diâmetro AB. Como ele dista GH de A, está na circunferência de centro em A e raio GH. Há, portanto, duas respostas: O e O .

2. Obtemos o comprimento d/2 da metade da diagonal do quadrado, construindo o triângulo GMJ, retângulo e isósceles, de catetos GI/2 (Teorema de Pitágoras).

3. C e E estão na reta OA, e D e F estão na reta OB. E, ainda, estão todos eles na circunferência de centro em O e raio d/2.

vestibular Fuvest-2002
tópico:Construcões Geométricas

sub-grupo:
pergunta:São dados, na figura adiante, os pontos A e M e a reta s. Sabe-se que o ponto A é vértice de um paralelogramo ABCD; o lado AB está na reta s; M é o ponto médio do lado BC e o ângulo CÂB tem medida 30°. Usando régua e compasso, construa esse paralelogramo. Descreva e justifique sua construção.


resposta:Observe a construção a seguir: (imagem abaixo)
1) Traçar a semi-reta r, tal que rÂs = 30°
2) Traçar a reta t, tal que M e t simbolo matemático de pertence t // s
3) Obtém-se C em r, tal que AG = GC, onde G é o ponto médio das diagonais
4) CM º s = {B}
5) Na reta BG obtém-se D, tal que BG = GD

vestibular Ufsm-2001
tópico:Construcões Geométricas

sub-grupo:
pergunta: (imagem abaixo) Na construção proposta, o ponto A representa o número zero e o ponto B, o número 1. Ao construir BC de forma perpendicular a AB e de comprimento 1, obtém-se AC. Após, ao construir CD, também de comprimento 1 e perpendicular a AC, obtém-se AD. Marcando, na reta r, AE de mesmo comprimento que AD, o ponto E representará o número
a) 1,0
b) v2
c) v3
d) 1,8
e) 2,0


resposta:[C]