Questões de Geometria Plana - Perguntas e Respostas Comentadas - Exercícios
questões de vestibulares
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Questões Geometria Plana

REF. Perguntas / Respostas
vestibular Fuvest-gv-1991
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é:
a) 125°
b) 110°
c) 120°
d) 100°
e) 135°


resposta:[A]

vestibular Fuvest-gv-1991
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:Na figura a seguir ABCD indica um quadrado de lado unitário e ABE um triângulo equilátero.
Prove que:
a) α = 15°;
b) tgα = 2 - v3


resposta:a)
1 - ângulo EAB = 60° porque o Δ ABE é eqüilátero.
2 - ângulo EAD = 30° pois o ângulo BAD = 90° e o ângulo EAB = 60°.
3 - ADE = AED = 75° pois o Δ AED é isósceles e o ângulo DAE = 30°.
4 - α = ângulo CDE = 15° pois o ângulo CDA = 90° e o ângulo ADE = 75°

b) tg α = tg 15° = tg (45° - 30°) =
= (tg45°-tg30°)/(1+tg45° . tg30°) =
= (1-v3/3)/(1+v3/3) = 2 - v3

vestibular Fuvest-1992
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:O retângulo a seguir de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão a/b?
a) 5/3
b) 2/3
c) 2
d) 3/2
e) 1/2


resposta:[A]

vestibular Fuvest-1992
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:Na figura a seguir, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. Calcule a razão DE/BC.


resposta:2/3

vestibular Fuvest-1992
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:Considere um cubo ABCDEFGH de lado 1 unidade de comprimento, como mostra a figura a seguir M e N são os pontos médios de AB e Cî, respectivamente. Para cada ponto P da reta AE seja Q o ponto de intersecção das retas PM e BF.
a) Prove que ΔPQN é isósceles.
b) A que distância do ponto A deve estar o ponto P para que o ΔPQN seja retângulo?


resposta:a)
ângulo PMA é congruente ao ângulo QMB (OPV)
ângulo A é congruente ao ângulo B (RETOS)
AM = MB = 1/2. Pelo postulado ALA v Δ PAM é congruente ao Δ QBM.
Como o segmento MN é paralelo ao segmento AD e o segmento AD é perpendicular ao plano contendo os pontos A,P, M e Q, conclui-se que o segmento MN é perpendicular ao segmento PQ. Como PM = MQ, MN é a mediatriz do segmento PQ, de onde PN = QN, ou seja, o triângulo PQN é isósceles.

b) v3/2

vestibular Fuvest-1992
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante.
a) Exprima y em função de x.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?


resposta:a) y = 2/3(30-x)
b) Para x = 15 metros, y = 10 metros.

vestibular Fuvest-1992
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:Considere uma circunferência de centro O e raio 2 cm tangente à reta t no ponto T. Seja x a medida do ângulo AÔT, onde A é um ponto da circunferência e 0 < x < p(Pi)/2.
Calcule, em função de x, a área do trapézio OABT sendo B o ponto da reta t tal que AB é paralelo a OT.


resposta:2 senx (2 - cos x)

vestibular Unicamp-1992
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:Na figura adiante, AB = AC = (L) é o lado do decágono regular inscrito em uma circunferência de raio 1 e centro O.
a) Calcule o valor de (L).
b) Mostre que cos 36° = (1 + v5)/4.


resposta:a) (L) = (v5-1)/2

b) Pela lei dos cossenos temos:
(L)² = 1² + 1² - 2.1.1. cos 36°Ì cos 36° = (1+v5)/4

vestibular Unesp-1992
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:Sejam AB um diâmetro de uma circunferência e BC um segmento de reta tangente a essa circunferência, AB = 3v5 m e BC = v5 m. Por C traça-se uma reta perpendicular a BC que intercepta a circunferência em D e E. Se Cî < CE, então a medida de CD é:
a) 3v5/2 m
b) (3v5-5)/2 m
c) (5 - 3v5)/2 m
d) (3 - v5)/2 m
e) 5v3/2 m



resposta:[B]

vestibular Unesp-1992
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:O ângulo central AÔB referente ao circulo da figura adiante mede 60° e OX é sua bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC e OC = v5 cm, calcular a área da figura hachurada.


resposta:5(2p(Pi) - 3)/12

vestibular Unesp-1992
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:A figura adiante mostra um triângulo equilátero ABC. Se AM=MP=PB, AN=NQ=QC e BH=HC, prove que os triângulos HMN e HPQ têm a mesma área.


resposta:O ΔABC é equilátero e Δ ABC ~ Δ APQ ~ ΔAMN.
AM = MN = x, AP = PQ = 2x.
Se 3y é a altura do triângulo ABC, então a altura do triângulo MNH é 3y - y = 2y e a altura do triângulo PQH é 3y - 2y = y. Portanto:
área do triângulo HMN = 1/2.x.2y = xy e área do triângulo HPQ = 1/2.2x.y = xy, ou seja, a área do Δ HMN = área do Δ HPQ

vestibular Unesp-1992
tópico:Geometria Plana

sub-grupo:
pergunta:A curva da figura a seguir representa o gráfico da função y = log‹x (i > 1). Dos pontos B = (2, 0) e C = (4, 0) saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva em D e E, respectivamente. Se a área do trapézio retangular BCED vale 3, provar que a área do triângulo ABD, onde A = (1, 0), vale 1/2.


resposta:Do gráfico, temos:
D = (2; log‹ 2) e E = (4; log‹ 4)

A área do trapézio BCDE é 3 , logo (BD+CE).BC/2=3Ì (log‹ 2 + log‹ 4)/2 = 3 Ì log‹2+log‹4 = 3 Ì log‹(2.4) = 3 Ì log‹ 8 = 3 Ì a³=8Ì a = 2

Deste modo
A = (1; log‹ 1) = (1,0) e D = (2;log‹ 2) = (2; 1).

A área do Δ ABD, retângulo em B, é (AB.BD)/2=1/2