Questões de Números Complexos - Perguntas e Respostas Comentadas - Exercícios
questões de vestibulares
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Questões Números Complexos

REF. Perguntas / Respostas
vestibular Fuvest-1994
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:a) Se z = cos&teta; + isen&teta; e z‚ = cos&teta;‚ + isen&teta;‚, mostre que o produto zz‚ é igual a cos (&teta; + &teta;‚) + isen(&teta; + &teta;‚).

b) Mostre que o número complexo z = cos48° + isen48° é raiz da equação z1(0) + z¦ + 1 = 0.



resposta:a) Demonstração:
z.z‚ = (cos&teta; + i sen&teta;) (cos&teta;‚ + isen&teta;‚) =
= cos&teta;cos&teta;‚ + sen&teta;‚cos&teta; + sen&teta;cos&teta;‚ =
= (cos&teta;icos&teta;‚ - sen&teta;isen&teta;‚) + (sen&teta;‚cos&teta; +
+ sen&teta;icos&teta;‚) =
= cos (&teta; + &teta;‚) + i sen (&teta; + &teta;‚)

b) z = cos 48° + i sen 48°
z1(0) + z¦ + 1 = cos480° + i sen480° + cos240° +
+ i sen240°+1 =
= cos 120° + i sen 120° + (-1/2) + i (-v3/2) + 1 =
= (-1/2) + i (v3/2) + (-1/2) + i (-v3/2) + 1 = 0

vestibular Fuvest-1995
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária do número complexo (2 + i)/(α + 2i) é zero, então α é:
a) - 4.
b) - 2.
c) 1.
d) 2.
e) 4.



resposta:[E]

vestibular Ita-1995
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:Seja z um número complexo satisfazendo Re(z) > 0 e (z + i)² + ¦z + i¦² = 6, onde z é o conjugado de z. Se n é o menor natural para o qual zn é um imaginário puro, então n é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5



resposta:[B]

vestibular Ita-1995
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:Sejam z e z‚ números complexos com ¦z¦ = ¦z‚¦ = 4. Se 1 é uma raiz da equação zz6 + z‚z³ - 8 = 0 então a soma das raízes reais é igual a:
a) - 1
b) - 1 + v2
c) 1 - ³v2
d) 1 + v3
e) - 1 + v3



resposta:[C]

vestibular Unesp-1995
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:Seja L o afixo do número complexo a = v8 + i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b, de módulo igual a 1, cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LOM é reto.



resposta:b = (1 - iv8)/3

vestibular Fuvest-1995
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:a) Determine os números complexos z tais que z + z = 4 e z . z = 13, onde z é o conjugado de z.
b) Resolva a equação x4 - 5x³ + 13x² - 19x + 10 = 0, sabendo que o número complexo z = 1 + 2i é uma das suas raízes.



resposta:a) z = 2 + 3i ou z = 2 - 3i
b) As raízes são: {1, 2, 1 + 2i e 1 - 2i}

vestibular Unitau-1995
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:O módulo de z = 1/i³6 é:
a) 3.
b) 1.
c) 2.
d) 1/36.
e) 36.



resposta:[B]

vestibular Unitau-1995
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:Determine o valor de k, de modo que z = [(1/2)k - (1/2)] + i seja imaginário puro:
a) -1/2.
b) -1.
c) 0.
d) 1/2.
e) 1.



resposta:[E]

vestibular Unitau-1995
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:A expressão i1³+i1¦ é igual a:
a) 0
b) i.
c) - i.
d) - 2i.
e) 3i.



resposta:[A]

vestibular Unesp-1991
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:Seja z ? 0 um número complexo tal que z4 é igual ao conjugado de z². Determinar o módulo e o argumento de z.



resposta:módulo = 1
argumento = &teta; simbolo matemático de pertence {0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°}

vestibular Unesp-1991
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:Sendo n um número natural, provar que o número complexo -1/2 + (v3/2)i é raiz da equação algébrica x³n+² + x + 1 = 0



resposta:Demonstração:

x = -1/2 +v3/2i = cos 2p(Pi)/3 + i sen 2p(Pi)/3

n­² = cos [(3n+2).2p(Pi)/3] + i sen [(3n+2).2p(Pi)/3]=
= cos(4p(Pi)/3 + n2p(Pi)) + i sen (4p(Pi)/3 + n2p(Pi)) =
= - 1/2 - v3/2 i.

Logo: x³n­² + x + 1 =
= - 1/2 - v3/2 i - 1/2 + v3/2 i + 1 = 0

Portanto x = -1/2 +v3/2 i é raíz de x³n­²+x +1 = 0.

vestibular Fuvest-gv-1991
tópico:Números Complexos

sub-grupo:
pergunta:Dentre todos os números complexos, z = ¦ z ¦ (cos&teta; + isen&teta;), 0 = &teta; < 2p(Pi), que satisfazem a inequação ¦ z - 25i ¦ = 15, determinar aquele que tem o menor argumento &teta;.



resposta:z = 12 + 16i

 


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